W dzisiejszym cyfrowym świecie bezpieczeństwo zależy od kryptografii. Wysyłając prywatną wiadomość lub płacąc rachunek online, polegamy na algorytmach zaprojektowanych do zachowania poufności naszych danych. Oczywiście, niektórzy ludzie chcą odkryć te tajemnice – dlatego badacze pracują nad testowaniem siły tych systemów, aby upewnić się, że nie ulegną rozkładowi w rękach bystrego atakującego.
Jednym z narzędzi ważnych w tej pracy jest algorytm LLL, nazwany na cześć badaczy, którzy go opublikowali w 1982 roku – Arjena Lenstry, Hendrika Lenstry Jr. i László Lovásza. LLL, wraz z wieloma potomkami, może złamać niektóre schematy kryptograficzne; badanie, jak się zachowują, pomaga badaczom projektować systemy mniej podatne na ataki. Talenty tego algorytmu nie ograniczają się jednak tylko do kryptografii: jest także przydatnym narzędziem w zaawansowanej matematyce, takiej jak obliczeniowa teoria liczb.
Przez lata badacze udoskonalali warianty LLL, aby uczynić podejście bardziej praktycznym, ale tylko do pewnego punktu. Teraz para kryptografów opracowała nowy algorytm oparty na technologii otoczek Laguerre’a-Lobachewskiego, który zwiększa wydajność całego procesu. Ta innowacyjna technika, która zdobyła nagrodę Best Paper podczas Międzynarodowej Konferencji Kryptologii 2023, poszerza zakres scenariuszy, w których naukowcy i matematycy mogą z powodzeniem stosować podejścia oparte na LLL.
„Wielce ekscytujące” – powiedział Chris Peikert, kryptograf z Uniwersytetu Michigan, który nie uczestniczył w opracowaniu algorytmu. Narzędzie to było przedmiotem badań przez dziesięciolecia. „Zawsze miło, gdy cel, nad którym tak długo pracowano, pokazuje, że nadal można znaleźć niespodzianki” – dodał.
Algorytmy z rodziny LLL działają w świecie otoczek – nieskończonych zbiorów regularnie ułożonych punktów. Aby sobie to zobrazować, wyobraź sobie, że kafelkujesz podłogę. Możesz pokryć ją kafelkami kwadratowymi, a narożniki tych kafelków tworzą jedną otoczkę. Alternatywnie, możesz wybrać inny kształt kafelka, na przykład długi równoległobok, aby stworzyć inną otoczkę.
Otoczkę można opisać za pomocą „bazy”. Jest to zbiór wektorów (czyli listy liczb), które można łączyć w różny sposób, aby uzyskać każdy punkt w otoczce. Wyobraźmy sobie otoczkę o bazie składającej się z dwóch wektorów: [3, 2] i [1, 4]. Otoczka to po prostu wszystkie punkty, do których można dotrzeć, dodając i odejmując kopie tych wektorów.
Ta para wektorów to nie jedyna baza dla otoczki. Każda otoczka o co najmniej dwóch wymiarach ma nieskończenie wiele możliwych baz. Jednak nie wszystkie bazy są równie dobre. Baza, której wektory są krótsze i bardziej prostopadłe względem siebie, jest zwykle łatwiejsza do pracy i bardziej przydatna do rozwiązywania niektórych problemów obliczeniowych, dlatego badacze nazywają takie bazy „dobre”. Przykładem takiej bazy są para niebieskich wektorów na poniższym rysunku. Bazy złożone z dłuższych i mniej prostopadłych wektorów – takich jak wektory czerwone – można uznać za „słabe”.
To zadanie wyjaśnia LLL: Daj mu bazę wielowymiarowej otoczki, a on da ci lepszą. Proces ten nazywany jest redukcją bazy otoczki.
Co to ma wspólnego z kryptografią? Okazuje się, że zadanie złamania systemu kryptograficznego można w niektórych przypadkach odnieść do innego problemu: znalezienia względnie krótkiego wektora w otoczce. Czasami ten wektor można wyciągnąć z zredukowanej bazy wygenerowanej przez algorytm z rodziny LLL. Ta strategia pomogła badaczom obalić systemy, które na pierwszy rzut oka nie miały wiele wspólnego z otoczkami.
Pierwotna wersja algorytmu LLL działa szybko w sensie teoretycznym: czas jego wykonania nie skaluje się wykładniczo w stosunku do rozmiaru danych wejściowych – czyli wymiaru otoczki i rozmiaru (w bitach) liczb wektorów bazowych. Jednak zwiększa się jako funkcja wielomianowa i „jeżeli faktycznie chcesz to zrobić, czas działania wielomianowy nie jest zawsze tak wykonalny” – powiedział Léo Ducas, kryptograf z holenderskiego instytutu badawczego CWI.
W praktyce oznacza to, że pierwotny algorytm LLL nie może obsługiwać zbyt dużych danych wejściowych. „Matematycy i kryptografowie chcieli mieć możliwość robienia więcej” – powiedział Keegan Ryan, doktorant na Uniwersytecie Kalifornijskim w San Diego. Badacze pracowali nad optymalizacją algorytmów z rodziny LLL, aby umożliwić obsługę większych danych wejściowych, często osiągając dobre rezultaty. Jednak niektóre zadania pozostały nieosiągalne.
Nowy artykuł, napisany przez Ryana i jego promotorkę, Nadię Heninger, łączy wiele strategii mających na celu poprawienie efektywności algorytmu. Technika ta wykorzystuje strukturę rekurencyjną, która dzieli zadanie na mniejsze części. Ponadto, algorytm precyzyjnie zarządza wynikami, znajdując równowagę między szybkością a poprawnym rezultatem. Nowa praca umożliwia badaczom redukcję baz otoczek o tysiące wymiarów.
Również wcześniejsze prace stosowały podobne podejście: w 2021 roku opublikowano artykuł, który również łączył rekurencję i zarządzanie precyzją, co pozwalało na szybkie rozwiązanie dużych otoczek, ale działał tylko dla określonego rodzaju otoczek, a nie dla wszystkich ważnych z punktu widzenia kryptografii. Nowy algorytm zachowuje się dobrze w znacznie szerszym zakresie. „Bardzo się cieszę, że ktoś to zrobił” – powiedział Thomas Espitau, badacz kryptografii w firmie PQShield i autor wersji z 2021 roku. Praca jego zespołu stanowiła „prototyp”, a nowy wynik pokazuje, że „można bardzo szybko redukować otoczki w sposób solidny”.
Nowa technika już zaczęła się przydawać. Aurel Page, matematyk z francuskiego instytutu badawczego Inria, powiedział, że on i jego zespół wykorzystali adaptację tego algorytmu do pewnych zadań związanych z obliczeniową teorią liczb.
Algorytmy oparte na LLL mogą również odgrywać rolę w badaniach dotyczących systemów kryptografii opartych na otoczkach, które mają pozostać bezpieczne nawet w przyszłości, gdy obecne kwantowe komputery staną się potężniejsze. Nie stanowią one zagrożenia dla tych systemów, ponieważ ich obalenie wymaga znalezienia krótszych wektorów, niż jest w stanie osiągnąć te algorytmy. Jednak najlepsze znane ataki wykorzystują algorytm z rodziny LLL jako „podstawowy element budulcowy” – powiedział Wessel van
FAQ:
1. Co to jest algorytm LLL?
Algorytm LLL to algorytm kryptograficzny nazwany na cześć badaczy, którzy go opublikowali w 1982 roku – Arjena Lenstry, Hendrika Lenstry Jr. i László Lovásza. Algorytm ten jest stosowany do redukcji bazy otoczek w wielowymiarowych przestrzeniach.
2. Jak działa algorytm LLL?
Algorytm LLL działa poprzez redukcję bazy otoczki. Zadaniem algorytmu jest znalezienie krótkiego wektora w otoczce, co może prowadzić do złamania niektórych systemów kryptograficznych. Algorytm wykorzystuje strukturę rekurencyjną i zarządza wynikami, osiągając równowagę między szybkością a poprawnym rezultatem.
3. Jakie są zastosowania algorytmu LLL?
Algorytm LLL jest stosowany głównie w kryptografii do testowania siły systemów kryptograficznych i projektowania systemów mniej podatnych na ataki. Jest również używany w zaawansowanej matematyce, takiej jak obliczeniowa teoria liczb.
4. Jakie są rezultaty najnowszych badań związanych z algorytmem LLL?
Najnowsze badania nad algorytmem LLL skupiają się na poprawieniu efektywności i wydajności algorytmu. Nowe techniki, oparte na strukturze rekurencyjnej i zarządzaniu precyzją, umożliwiają redukcję baz otoczek o większych wymiarach. Algorytm ten znajduje zastosowanie w różnych dziedzinach matematyki i kryptografii.
5. Czy algorytm LLL ma zastosowanie w kryptografii kwantowej?
Algorytm LLL ma znaczenie w badaniach dotyczących systemów kryptografii opartych na otoczkach, które mają być odporne na ataki kwantowe. Obalenie tych systemów wymaga znalezienia krótszych wektorów, niż jest w stanie osiągnąć algorytm LLL. Jednak algorytm LLL jest wykorzystywany jako podstawowy element ataków na te systemy.
Definicje:
Algorytm LLL – algorytm kryptograficzny służący do redukcji bazy otoczek w wielowymiarowych przestrzeniach.
Otoczka – nieskończony zbiór punktów, które można dotrzeć, dodając i odejmując kopie wektorów bazowych.
Baza – zbiór wektorów, które można łączyć w różny sposób, aby uzyskać każdy punkt w otoczce.
Jargon:
Kryptografia – dziedzina informatyki zajmująca się zabezpieczaniem danych przez ich ukrywanie i zabezpieczanie przed nieautoryzowanym dostępem.
Obliczeniowa teoria liczb – dział matematyki zajmujący się badaniem własności liczb całkowitych przy użyciu metod obliczeniowych.
Zasugerowane powiązane linki:
Kryptografia
Obliczeniowa teoria liczb
Algorytm
The source of the article is from the blog radardovalemg.com